Прибыльность, пропорциональная вкладам.

admin, 22 июля 2020 г. 12:10

Прибыльность, пропорциональная вкладам.

Задачка

Пусть А и Б вложили 1 рубль и 2 рубля каждый и купили самовар за 3 рубля, а потом продали его за 6. Поделив деньги согласно вкладу, они получили по 2 и 4 рубля соответственно, причем прибыльность операции для каждого составила 100%. И тут Б решил, что это не честно. Денег он дал вдвое больше, значит, и прибыльность операции должна для него быть вдвое больше. Как поделить денежки так, чтобы прибыльность операции для А и Б была пропорциональна их вкладам?

Решение

Имеем: вклады a и b, доход c. Найти: суммы выплат x и y, такие, что прибыльность пропорциональна вкладам.

x+y=c
xaa,ybb
xaaybb=ab
bxaba=ayabb
baxaby=ba
y=cx
(ba+ab)x=ba+acb

Итого, получаем:

x=ab2a2b+a2ca2+b2
y=a2bab2+b2ca2+b2

Ответ

Возвращаясь в А и Б получаем, что А должен получить 1 рубль 60 копеек, а Б достанется 4 рубля 40 копеек. Тогда доходность операции для А составит 60%, а для Б целых 120%, вдвое больше, как и требовалось.

Дальше

Прибыли x' и y' игроков А и Б:

x=xa,y=yb
x=ab2a2b+a2ca2+b2a=ab2a2ba2ca3ab2a2+b2=a2ca3a2ba2+b2
x=a2a2+b2(c(a+b))
y=b2a2+b2(c(a+b))

И тогда для N игроков со вкладами a₁, a₂, ... и доходом C:

xk=ak2i=1Nai2(ci=1Nai)

И выплаты:

xk=ak+ak2i=1Nai2(ci=1Nai)